Rätsel: Milch- und Kaffee-Mischungen

Armin (2017-01-11)
Die Verhältnisse sind, da zu Beginn jeweils ein Liter einer jeden Flüssigkeit vorhanden war, die selben.
Wenn x ml Kaffe im einen Becher sind, dann müssen im anderen Becher x ml Milch sein.
Beide Becher beinhalten das gleiche Volumen, einen Liter.

Gosty (2017-01-18)
Meiner Meinung nach ist in diesem Fall mehr Milch in der milch/kaffee Mischung als Kaffee in der Kaffee/milch Mischung da beim zweiten Austausch nicht nur Kaffee in die Milch kommt sondern von dem Vermischen eine kleinen Menge Milch in die Milch zurück kommt. Es ist also mehr Milch im Kaffee als Kaffee in der milch. In beiden Bechern ist das gleich Volumen das sagt die Antwort C jedoch nicht aus.

Ali (2017-02-10)
Die Anteile müssen ja gleich sein!
Wenn beide am Anfang und am Ende 1 Liter betrugen, dann MUSS es ja so sein, dass der Teil, der rübergewandert ist, praktisch ausgeglichen sein muss mit dem, was zurückgewandert ist. Am Anfang waren beide gleichviel (1 Liter Kaffee, exakt gleich viel, 1 Liter Milch), dann kann sich ja nicht Milch in Kaffee verwandelt haben oder so! ;-)

Numal (2017-05-30)
Die Lösung ist richtig, aber die Erklärung ist nicht recht einleuchtend, da der Extremfall nicht für den Normalfall gelten muss.

Gosty hat recht (2017-08-15)
Es wird nicht nach dem Volumen gefragt, sondern nach dem Milch/Kaffee-Anteil bzw Kaffee/Milch-Anteil. Somit hat Gosty recht.

Mathe Professor (2017-11-02)
Gosty & Kompane sind vollständig im Unrecht.
Hier mal auf mathemathischer Ebene die simple Erklärung

K= Kaffee, M=Milch , 0,1 steht für 100ml was nun der Löffelinhalt ist.

Schritt 1: K = K +0,1M
--> daraus resultiert M = M - 0,1 M (weil wenn man was von der Milch nimmt, fehlt ja was)

Schritt 2: M = (M-0,1M) + (K+0,1M)
M = M + K
--> die 0,1M lösen sich auf , es bleibt im Gemisch der volle Milch Anteil und Kaffee Anteil

Kein Problem, bitte

Mal eine Anregung (2018-01-10)
Korrigiert mich, wenn ich falsch liege...

Mathe Noob (2018-01-17)
ich würde so rangehen:
allgemein:
Man hat in der einen Tasse k Kaffee-"Teilchen" und in der anderen Tasse m Milch-"Teilchen". Der Löffel kann immer nur eine bestimmte Zahl von Teilchen transportieren. Man kann dann verschiedene Fälle diskutieren und sieht, dass immer das gleiche rauskommt.

Beispiel:

4 Kaffeeteilchen = 4 Milchteilchen
kkkk = mmmm
der Löffel kann 2 Teilchen transportieren. Nun nimmt man beispielsweise Kaffee und schüttet ihn in die Milch. Dann sind in der Milchtasse: mmmm kk - Teilchen
Nun kann man sich überlegen, was passiert, wenn man den Vorgang rückgängig macht. Das kann man sich wie das Ziehen aus einer Urne vorstellen. Das ist in dem Fall Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Der Löffel kann immer nur zwei Teilchen aufnehmen. Daraus ergeben sich die möglichen Ereignisse: mm, mk, kk. Diese würden jeweils wieder in die Kaffeetasse wandern, sodass am Ende 3 mögliche Fälle "unterschieden" werden müssten

Fall 1: mm
kkmm = mm kk (die Anteile in beiden Tassen sind gleich)

Fall 2: mk
kkmk = mmmk (ebenfalls)

Fall 3: kk
kkkk = mmmm (ebenfalls)

Ich hoffe, es ist einigermaßen verständlich und vor allem auch richtig. Um das ganze zu verallgemeinern müsste (also für beliebige Teilchenzahlen) müssten ich nochmal überlegen, wie man das schreiben könnte. Eine Anmerkung @Mathe Professor, weil ich in der Herleitung was nicht so ganz verstehe bzw. etwas widersprüchlich finde: M = M - 0,1M stimmt NUR für M=0, was unsinnig wäre. Ebenso ist M = M + K nur richtig für K=0. Unter diesem Gesichtspunkt finde ich die Herleitung etwas unverständlich ehrlich gesagt (bitte um Aufklärung!) :)

Max (2018-02-21)
Die Lösung ist nur im Extremfall korrekt.
Und ich will gerne mal einen 1 Liter-Esslöffel sehen.

Cheers.

Andreas (2019-10-08)
Also mein hoffentlich gesunder Menschenverstand sagt mir: Zuerst wandert ein Esslöffel mit REINER Milch rüber in den Kaffee. Der vermischt sich mit dem Kaffee zu einem Kaffee-Milch Gemisch. Hieraus nehme ich jetzt wieder einen Löffel Kaffee-Milch-Gemisch und kippe den wieder in die Milch. Jetzt ist überall wieder 1 Liter, aber in der Milch ist mehr Milch als Kaffee im Kaffee.
...als Kaffee im Kaffee, irgendetwas stimmt hier nicht. Machen wir doch mal folgende Rechnung:
Ich entnehme der Milch mit einem großen Löffel 1/3 und kippe den in den Kaffee. Dann habe ich 4/3 im Kaffee- und 2/3 im Milchbecher. Das Mischungsverhältnis im Kaffee ist: 25% Milch, 75% Kaffee. Da kann ich jetzt rausnehmen soviel ich will, an dem Verhältnis ändert sich nichts mehr. Jetzt komme ich wieder mit meinem großen Löffel und nehme 1/3 raus, kippe also diese Mischung wieder in die Milch. Dieser 75% Kaffee-Anteil auf 1/3 macht 25% auf das Ganze, also sind die Mischungen tatsächlich GLEICH!!!!!

a60000000 (2020-05-18)
Beide Becher sind am Ende gleich voll.
Im Milchbecher ist Milch und etwas Kaffee,
im Kaffeebecher ist Kaffee und etwas Milch.


Weil die Gesamtmengen Milch und Kaffee constant sind,
deshalb ist die TeilMenge Kaffee im Milchbecher welche nun im Kaffeebecher fehlt,
gleich der TeilMenge Milch im Kaffeebecher die nun im Milchbecher fehlt.


Dabei ist es fuer die Gleichheit am Ende unwichtig, dass mit dem Loeffel Milchkaffee etwas Milch vom Kaffebecher , zurueck in den Milchbecher gelangt.

Professor (2020-05-19)
Der Teelöffel ist 100%

Man nimmt also 100% Kaffe aus dem Glas, schüttet diesen in die Milch.
Man nimmt aus der Milch den Teelöffel, sind also 98% Milch und 2% Kaffee ( wegen vermischung ).
Man gibt diesen in den Kaffee und hat dann im Kaffeeglas 98% Kaffe und 2% Milch, im Milchglas hat man ebenfalls 98% Milch und 2% Kaffee.

Thomas (2020-08-01)
Nehmen wir doch ein einfaches Beispiel:
Wir nehmen zwei Tassen in jeder Tasse befinden sich 100 ml.
In der einen Milch.
In der anderen Kaffee.
Der Löffel fasst 10 ml.
Wenn ich in meinen Kaffee einen Löffel Milch dazugebe:
Der Kaffeebecher hat 110 ml wovon 10 ml Milch sind.
Der Kaffeebecher enthält also zehn Teile Kaffee und ein Teil Milch.
Also eine Mischung von eins zu zehn.
Der Milchbecher hat 90 ml reine Milch.
Jetzt kommt ein Gemisch von eins zu zehn zurück in die Milchtasse.
Genau 10ml.
In beiden Tassen sind dann genau 100 ml.
Der Kaffeebecher hat immer noch eine Mischung von eins zu zehn, die wird sich auch nicht mehr ändern bis zum letzten Tropfen.
Der Milchbecher enthält aber neun Teile Milch und nur einen Teil der Mischung von eins zu zehn.
Da die neun Teile Im Milchbecher nur Milch enthalten, aber keinen Kaffee, wobei aber das Gemisch im Kaffee weiter eins zu zehn beträgt , ist mehr Milch im Milchbecher.

bug (2020-08-14)
Thomas hat so schön angefangen mit einem konkreten Beispiel, nur mit der Schlussfolgerung bin ich nicht einverstanden...
Im Kaffeebecher waren also eben noch 100 ml Kaffee + 10ml Milch, wir nehmen dann 10 ml von der Mischung raus. Diese Mischung ist 1:10, d.h. (1/11)*10ml=0.90909.. ml Milch und (10/11)*10 ml=9.090909.. ml Kaffee.
Also bleiben 10-0.90909.. = 9.0909 ml Milch im Kaffeebecher bei den 100-9.090909...= 90.90909... ml Kaffee. Oder kurzum es sind wieder genau 100ml mit Mischung 1:10, wie Thomas schon schrieb, also 10/11*100 ml Kaffee und 1/11*100 ml Milch.
In der Milchtasse befinden sich dann 90ml + 0.90909... ml Milch und 9.090909.. ml Kaffee, und oh, wunder das ist genau der selbe Anteil wie umgekehrt in der Kaffeetasse!

bug (2020-08-14)
Man kann das ganze auch universal lösen... Sagen wir es sind x ml in der Tasse und y ml fasst der Löffel. (K=Kaffee, M=Milch).

Zunaechst haben wir
Tasse1: x K
Tasse2: x M

Nach dem ersten Löffel Austausch:
Tasse1: x K + y M
Tasse2: x-y M

Nun nehmen wir 1 Löffel des Gemisches aus Tasse1, dieser fasst:
y* (x/ (x+y) ) K + y* (y /(x+y)) M

das müssen wir nun jeweils dazuzählen bzw abziehen...

Also befinden sich in
Tasse1: x - y* (x/ (x+y) ) K + y - y* (y /(x+y)) M
Tasse2: x-y + y* (y /(x+y)) M + y* (x/ (x+y) ) K

bis hierhin sieht das ganze noch nicht sehr gleich aus...
Um dies weiter auflösen zu können, muss man alle Summanden auf den gleichen Nenner bringen (x+y), das tut man indem man auch den Zähler damit multipliziert. Gleichzeitig können wir das andere Paar Klammern weglassen [ y* (x/ (x+y)) = yx/(x+y) ], daraus ergibt sich dann:

für Tasse 1: ( x(x+y) - yx) / (x+y) K + (y(x+y) - yy) /(x+y) M
= (xx + xy - yx)/(x+y) K + (yx+yy-yy) / (x+y) M
= xx/(x+y) K + yx/(x+y) M
für Tasse 2: (x(x+y) - y(x+y) + yy ) /(x+y) M + yx / (x+y) K
(wir sehen hier schon dass der Kaffee anteil das gleiche ist wie der Milchanteil zuvor, also muss auch der andere Teil gleich sein, aber wir können es weiter auflösen...)

= (xx+xy - yx -yy + yy ) /(x+y) M + yx / (x+y) K
= xx /(x+y) M + yx / (x+y) K
q.e.d.

Ockham der Kleine (2022-09-23)
Wie "Gosty hat recht" schon schreibt, hat Gosty recht und Thomas auch.

Es geht ein Löffel reine Milch vom Milch- in den Kaffeebecher. Zurück kommt ein Löffel mit einem Gemisch aus hauptsächlich Kaffee mit etwas Milch. Und genau dieses etwas mehr an Milch ist es, was den Unterschied macht. Da gibt's nix zu rechnen.

Milchkaffee (2022-09-23)
Lieber Ockham, so einfach ist die Sache nicht, von wegen da gibt's nix zu rechnen. Man muß nicht, aber man kann:
Also nehmen wir mal keinen Literbecher und keinen Esslöffel sondern ganz bescheiden einen Teelöffel mit 5 ml und eine Tasse mit 200 ml. Kommt jetzt ein Teelöffel Milch aus dem Milchbecher in den Kaffeebecher, dann sieht es so aus:
Der Kaffeebecher enthält 205 ml, bestehend aus 200 ml Kaffee und 5 ml Milch. Sein Gemisch besteht also aus 97,56 % Kaffee und 2,44 % Milch.
Der Milchbecher enthält noch 195 ml reine Milch.
Jetzt kommen 5 ml von dem Kaffee-Milch-Gemisch des Kaffeebechers zurück in den Milchbecher. Dann enthält der Kaffeebecher wieder 200 ml, immer noch mit dem gleichen Mischungsverhältnis, 97,56% Kaffee und 2,44% Milch - es ist ja nichts hinzugekommen.
Der Milchbecher enthält auch wieder 200 ml. Wenn reiner Kaffee hinzugekommen wäre, hätte er das gleiche Mischungsverhältnis wie der Kaffeebecher, nur eben umgekehrt: 97,56% Milch und 2,44% Kaffee. Es ist aber kein reiner Kaffee hinzugekommen, sondern Kaffee mit 2,44% Milch. Geschmacklich dürfte es keinen Unterschied machen, aber rechnerisch eben doch.

Da das 5 ml Kaffee-Milch-Gemisch aus dem Kaffeebecher 2,44 % Milch enthielt, waren das 0,122ml Milch und 4,878 ml Kaffee. Das bedeutet, daß danach 195,122 ml Milch und 4,878 ml Kaffee im Milchbecher sind, also etwa 0,001 % mehr Milch im Milchbecher als Kaffee im Kaffeebecher!

Korrektor (2022-09-28)
Lieber Milchkaffee
in den Bechern sind nicht je 200 ml sondern ein ganzer Liter! Also nutzt die ganze Rechnerei ja nun gar nichts, denn das ist 5 mal soviel und das macht einen Unterschied! Und es ist auch kein Teelöffel sondern ein Eßlöffel!

Und dir, kleiner Ockham, muß ich sagen, daß 0,001 ml eben keinen Unterschied machen! Überhaupt keinen Unterschied! Dippelschisserei!

Also bitte nicht persönlich nehmen, ihr wißt es halt' nicht besser, das versteh' ich.
Aber schließlich ist die Lösung ja ganz oben vorgegeben. Alles andere ist zwangsläufig falsch. Also bitte überlegt doch mal, ob wir es brauchen, daß Dippelschisser ihren Müll hier in der Welt herumposten!

Lotte aus Berlin (2022-09-28)
Also soll das ewig so weitergehen jetzt? Kann nicht einer mal einen Eßlöffel aus der Schublade holen, einen Liter Kaffee kochen, einen Liter Milch aufmachen, zwei große Tassen auf den Tisch stellen und dann einfach mal empirisch prüfen was Sache ist? Ist das so schwer? So ein gut dokumentiertes empirisches Experiment könnte doch Fundament und Grundlage für jede weitere seriöse wissenschaftliche Diskussion hier sein!

Lotte aus Berlin (2022-09-28)
Also nicht, daß ich die vorgegebene Lösung nicht voll verstanden hätte, stimmt natürlich total. Aber was genau ist der Unterschied zwischen einer Milch/Kaffee-Mischung und einer Kaffee/Milch-Mischung? Auf die Löffelgröße kommt es nicht an, das ist ganz klar.

Klaus aus Hamburg (2022-12-30)
Da die Flüssigkeitsmengen am Ende beider Schritte wieder absolut gleich sind(!) muss der Anteil Kaffee, der im Kaffebecher fehlt, logischerweise im Milchbecher sein - und dort fehlt jetzt die exakte Menge an Milch, die wiederum nur im Kaffeebecher sein kann.

Entscheidend ist nur, dass zwei mal die gleichen Flüssigkeitsmengen bewegt werden und beide Becher am Ende wieder gleich voll sind (1 Liter).