Drei Tore und nur ein Gewinn - das Ziegenproblem

Letztes Update: Dienstag, 16. August 2016 - 16:41 Uhr

In einer Quizshow hast Du die Wahl zwischen drei Toren. Hinter zwei der Toren befindet sich eine Ziege (d.h. Du hast verloren), hinter dem dritten ein Auto als Gewinn.

Das Glücksspiel läuft immer wie folgt ab:

Du wählst zunächst ein Tor aus. Es bleibt jedoch noch geschlossen und der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem sich eine Ziege befindet.

Du darfst dann entweder das Tor behalten, für das Du dich zuerst entschieden hast, oder auf das zweite noch geschlossene Tor wechseln.


Nun die Frage:

Wie hoch sind Deine Chancen, das Auto zu gewinnen?

Hinter welchem Tor ist der Gewinn???

 

Geheimtipp:

Die hellsten Köpfe scheitern, wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht und das Verständnis für dieses Rätsel fällt vielen Menschen schwer. Wer das Ganze genauer untersuchen möchte, dem empfehle ich das folgende Buch, das alle Aspekte des Rätsels sehr genau beleuchtet:

Das Ziegenproblem: Denken in Wahrscheinlichkeiten

 

 

 

 

Gefällt dir das Wahrscheinlichkeits-Rätsel? Hast du Lösung verstanden? Schreibe doch einen Kommentar..

Kommentare 38

Erwin (2012-07-23 - 12:53 Uhr)
also man sollte schon wechseln denn wenn man bleibt hat man eine Chance von 1/3 zu gewinnen doch wenn man wechselt hat man eine chance von 2/3 zu gewinnen
Kai (2012-08-21 - 15:32 Uhr)
Die ganzen Stochastiker sind alles nur Wichtigtuer! Die Chancen stehen 50:50, egal welches Tor man nimmt.
Paskopf (2012-08-24 - 10:32 Uhr)
Schaut euch doch den Film "21" an. Da wirds erklärt :)
Herodotson (2012-09-14 - 15:43 Uhr)
Vielleicht geht es hierbei drum nach dem Öffnen des ersten Tors von seiner Anfänglichen Entscheidung abzutreten und wieder neu Nachzudenken und die bessere Wahrscheinlichkeit mit einfließen zu lassen. Da ich jetzt ein bessere Wahrscheinlichkeit für das mögliche erhoffte eintretende Ergebnis habe.
Sollte man bei seiner ersten Entscheidung bleiben beruht das Ergebnis anfänglich auf einer geringe Wahrscheinlichkeit da alle drei Tore geschlossen waren. Natürlich kann man sagen das beim öffnen eines Tores dann die Wahrscheinlichkeit bei 50/50 liegt. Sie hat aber nicht mit der Wahrscheinlichkeit des Ergebnis zu tun falls man bei seiner Entscheidung bleibt die Anfänglich getroffen wurde als alle drei Tore geschlossen waren. Weil der neue Sachverhalt nicht in die Überlegung mit einfließt. Was nützen neue Informationen über Wahrscheinlichkeiten wenn die nicht in den Entscheidungsprozess mit einfließen.
Ralle (2012-10-08 - 19:28 Uhr)
Man muss tatsächlich wechseln. Die verständlichste Erklärung: Man stelle sich einen zweiten Kandidaten in der Quizshow vor. Der erste Kandidat bleibt immer bei seiner ersten Wahl. Der zweite nimmt immer das andere, noch geschlossene, Tor. Das macht man 100 mal, also werden 100 Autos verteilt. Kandidat 1 wird wahrscheinlich ca. 33 Autos gewinnen (1 aus 3). Wer gewinnt die anderen ca. 66 Autos? ;-)
derworch (2013-01-29 - 16:04 Uhr)
Man versteht es eigentlich am besten, wenn man von einhundert Türchen ausgeht:
Such dir eins von hundert Türchen aus; Showmaster öffnet von den verbleibenden 99 Türchen 98 mit einer Niete; würdest du zum verbleibenden Türchen wechseln?
Unsinn (2013-03-20 - 15:23 Uhr)
ich habe mir das auch jetzt durch den kopf gehen lassen. ich sehe auch keinen zusätlichen nutzen im "wechseln". wenn ein "zonk" nach dem anderen geöffnet wird, hat dies keinerlei auswirkung auf die gewinnchancen. wenn man immer wechselen sollte, ist das eine regel und hat auch nichts mehr mit einer "entscheidung" zu tun. der gewinn ist wo er ist und aus die maus. es stimmt zwar, dass die chance auf den sieg steigt. wenn 1 von 3 toren mit zonk geöffnet wird. diese ganze these ist völliger unsinn und die tatsache, dass dem soviel aufmerksamkeit gewidmet wurde und das auch noch analysiert wurde, ist totaler humbug und zeigt wie dumm die leute sind.
Hannah (2013-03-21 - 19:54 Uhr)
Das ist doch gan einfach. Es sind noch eine Tür mit einer Ziege übrig, und die andere mit einem Auto. Noch zwei Möglichkeiten, von denen beide gleich warscheinlich sind (50/50)
Oyster2go (2013-05-25 - 12:45 Uhr)
Denkansatz ändern!!! Es geht nicht um das Verhalten des Spielers, sondern um das Verhalten des Moderators!

Ergebnis: Richtig verhält sich der Speiler, wenn er zunächst ohne nachzudenken auf ein Tor setzt und danach dem Angebot des Moderators zustimmt. Seine Gewinnchance erhöht sich dadurch von 1/3 auf 2/3!

Lösung: Es gibt 3 Situationen für die Belegung der Tore: Tor 1/2/3 --> Auto/Ziege/Ziege --> Ziege/Auto/Ziege --> Ziege/Ziege/Auto.

Wenn sich der Spieler für Tor 1 entscheidet, dann bleiben dem Moderator die Fälle --> Ziege/Ziege --> Auto/Ziege --> Ziege/Auto.

Jetzt streicht der Moderator immer eine Ziege weg und bietet dem Kandidaten als neue Wette an ---> Ziege --> Auto --> Auto.

Das heisst, bei der ersten Wahl hat der Kandidat die Chance 1/3 richtig zu liegen, bei der zweiten Wahl aber 2/3. Er verhält sich alo richtig, wenn er beim ersten Mal ohen nachzudenklen wählt, und beim zweiten Mal dann auf das Angebot des Moderators eingeht. Kapiert?
Hans (2013-06-11 - 21:25 Uhr)
Die Wahrscheinlichkeit ist 66,66...% wenn man sich für das andere Tor entscheidet
Hans (2013-06-11 - 22:05 Uhr)
gut erklärt Oyster2go
(Y)
Paul (2013-07-17 - 11:16 Uhr)
Es ist nun aber so das der erste Fall "Auto/Ziege/Ziege -> Ziege / Ziege -> Ziege" für 2 Möglichkeiten steht, da der Moderator die Ziege in Tor 2 oder Tor 3 zeigen kann. Die beide anderen Möglichkeiten können nur genau so auftreten wie beschrieben. Somit gibt es 2 Möglichkeiten nach einem wechsel zu gewinnen und 2 zu verlieren -> 50:50
Polo (2014-01-02 - 21:52 Uhr)
Alle Antworten mit 50:50 sind natürlich falsch. Den meisten Menschen macht hier die Intuition einen Strich durch die Rechnug :-)

Quizfrage dazu: Was ist jemand mit folgenden Eigenschaften eher von Beruf, Bauer oder Bibliothekar: Ruhig, In-sich gekehrt, detailversessen, ordnungslieb, hat es gerne aufgeräuft, belesen.
Die richtige Antwort ist natürlich Bauer. Es ist wahrscheinlicher, da es mehr Bauern als Bibliothekare gibt...
Auch hier ist die erste, intuitive Antwort falsch.

Nun ist es ja im Grunde nicht schlimm, wenn die meisten Leute falsch liegen. (Studien zufolge beantworten die Ziegenfrage ca. 90% falsch...).
Gefährlich finde ich es nur wenn der Fehler nicht eingesehen wird, ja soger darauf beharrt wird und Fakten ignoriert werden.
"Nur weil man etwas nicht versteht, heisst es noch lange nicht dass es falsch ist".

Rydell (2014-08-05 - 19:05 Uhr)
Oyster, die ursprüngliche "Chance" richtig zu liegen, ist nicht 1:3. Sie sind 1:2.

Einem richtigen Tor stehen nämlich zwei falsche gegenüber! Nicht aufgepasst in Statistik oder was?
Soo einfach (2014-09-05 - 14:46 Uhr)
natürlich wechseln!!! Das ist doch klar!
Frida (2014-09-05 - 14:49 Uhr)
Unsinn,denk mal nach! stell dir vor du hast 100 türen und er zeigt die 98 mit ziege. dann wechselt man weil er logischerweise die tür mit dem auto ausgelassen hat. Wie wahrscheinlich ist es wohl, dass du von 100 türen die richtige ziehst?
asd0l (2014-09-27 - 04:01 Uhr)
Rydell, genau hinschauen, er hat nicht 1:3 sondern 1/3 (also ein drittel) geschrieben, da gibt es einen ziemlichen unterschied
Thin (2014-11-02 - 17:40 Uhr)
Nach dem Gesetz der Wahrscheinlichkeit ist die Gewinnwahrscheinlichkeit aller 3 Toren ist 1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des zuerst gewählten Tor ist 1/3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des von dem Moderator geöffneten Tor is 0. Es bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit für den anderen Tor 2/3.
Helle (2014-11-06 - 16:04 Uhr)
An alle die meinen 50/50 wäre richtig und nicht 2/3 verusche ich mal zu erklären was sie falsch machen.
Das es überhaupt so weit kommen kann, dass nur noch 2 Türen offen sind und man die Möglichkeite hat zwischen diesen beiden, braucht man ein Ereigniss davor. Ansonsten wäre von Anfang an eine Türe offen und man würde eine von 2 geschlossenen wählen. Dann hätte man natürlich 50/50 und man müsste nicht unbedingt wechseln. In dem Fall gab es aber 3 geschlossene Türen und nicht 2. Deshalb hatte man am Anfang die Chance von 1/3 die richtige Türe zu öffnen. Öffnet der Moderator jetzt eine falsche Türe sind zwar nur noch zwei offen, aber dazu wäre es ohne die Ausgangsituation von 3 geschlossenen Türen nicht gekommen. Deshalb hängt die zweite Auswahlphase von der ersten ab. Und deshalb kann man nicht sagen er hat ja eine 50% Chance, weil es ja wieder von vorn los geht und alles was davor war ist vergessen. Würde man alles was davor war vergessen gabe es nämlich auch keine offene Türe von den 3 Türen.
Somit hat der Kandidat am Anfang die Chance von 1/3 die Gewinnertüre zu wählen und 2/3 die falsche Türe zu wählen. Wenn man beim ersten mal die richtige Türe wählt muss man muss man logischerweise nicht mehr wechseln. Das passiert aber nur mit einer Chance von 1/3. Wählt an am Anfang die falsche Tür, was ja mit 2/3 viel wahrscheinlicher ist, dann hat der Moderator ja nur noch eine mögliche Türe zu öffnen. Denn in einer ist das Auto und in der anderen eine Ziege und in der selbst gewählten auch eine Ziege. Somit wird der Moderator die Ziege zeigen und man wei0ß sicher, dass im anderen Tor das Auto ist. Somit gewinnt man immer wenn man am Anfang falsch liegt und danach wechselt. Am Anfang falsch liegen ist mit 2/3 größer als am Anfang richtig zu liegen.
Damit ist bewiesen, dass wehcseln besser ist, weil man wahrscheinlicher am Anfang nicht gleich das richtige Tor trifft.
NichtGanzHelle (2014-12-23 - 14:11 Uhr)
@helle das interessiert keinen....wenn eine tür offen ist, gibt es nur noch 2 türen aus dehnen man wählen könnte die chnacen sind als 50;50 accept tis sh*t
Sandy (2015-01-03 - 23:39 Uhr)
Der Denkfehler der 50/50 Fraktion liegt darin, dass das Auto nach dem ersten Durchgang nicht neu auf die zwei verbleibenden Tore verteilt wird (dann wäre die Chance tatsächlich 50/50), sondern das Auto bleibt dort, wo es von Anfang an war. Damit ist es nur zu einem Drittel im gewählten Tor, zu 2/3 in den nicht gewählten, von denen im zweiten Durchgang schon eines geöffnet ist.
ottilie (2015-02-23 - 14:56 Uhr)
ich würde einfach rechnen:1/3 dividiert durch 1/2, das sind dann 2/3.
beim ersten öffnen hast du 1/3 Chance das Auto zu treffen, beim 2.Öffnen 1/2 Chance, gesamt 2/3
einfacher (2015-04-18 - 18:31 Uhr)
Denkt mal anders rum:

1.) Zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 nimmt man das Auto am Anfang.

2.) In diesem Fall (wenn man sich im zweiten umentscheidet) kriegt man ne Ziege. Also zu 1/3.
In den restlichen 2/3 erhält man das Auto.


einfacher (2015-04-19 - 23:23 Uhr)
Es geht halt um die Wahrscheinlichkeit, ob sich der Kandidat umentscheiden soll oder nicht. Und wenn er zu 2/3 am Anfang eine Ziege nimmt, und die zweite dann auf jeden Fall aus dem Spiel genommen wird, hat er ja auf jeden Fall auch dann das Auto...

Den Fehler, den die anderen machen, ist, dass sie nur von dem zweiten schritt ausgehen. Da ist die Wahrscheinlichkeit natürlich 50-50. Aber man muss ja auch noch die erste runde einbeziehen. Und da sind die Wahrschinlichkeiten nicht 50-50 sondern 33-66.
sam (2015-06-21 - 08:09 Uhr)
66,66666%
DD (2015-07-12 - 13:30 Uhr)
Helle, die beste Erklärung hier von Dir. Super! Mit dem Wechsel entscheidet sich der Kandidat gegen seine 1/3 Chance und somit für die 2/3 Wahrscheinlichkeit anfangs falsch gelegen zu haben.
yk (2015-08-09 - 15:11 Uhr)
Problem vereinfachen und die 3 Möglichkeiten wo sich das Auto befindet durchspielen. Sollte dann gut verständlich sein.
- Treffe zum Beispiel die Annahme, dass der Kandidat am Anfang IMMER Tor 1 wählt und er das Wechselangebot des Moderators IMMER annimmt.

Möglichkeit 1: Das Auto befindet sich in Tor 1: Der Kandidat hatte zu Beginn das richtige Tor, er wechselt auf das übrig gebliebene Tor 2 oder 3 und verliert.
Möglichkeit 2: Das Auto befindet sich in Tor 2: Der Kandidat hatte zu Beginn ein falsches Tor, er wechselt auf das übrig gebliebene Tor 2 und gewinnt. (Der Moderator konnte ja nur Tor 3 aus dem Spiel nehmen)
Möglichkeit 3: Das Auto befindet sich in Tor 3: Der Kandidat hatte zu Beginn ein falsches Tor, er wechselt auf das übrig gebliebene Tor 3 und gewinnt. (Der Moderator konnte ja nur Tor 2 aus dem Spiel nehmen)

Der Kandidat gewinnt also in 2 von 3 Fällen bei dieser Annahme.

Falls noch nicht ganz klar, Annahme beliebig anpassen und wieder die 3 Möglichkeiten durchspielen..
Joe (2015-10-20 - 05:26 Uhr)
wie wäre es mit dieser 08/15- Erklärung:

Der Moderator bietet dem Kandidaten zwei Möglichkeiten an:
1) er darf eine Tür auswählen, oder
2) er darf zwei Türen auswählen.
Wenn hinter einer der Türen ein Auto steht, hat der Kandidat das Auto gewonnen.
Ich würde mich für die Wahl 2) entscheiden; 2/3 ist grösser als 1/3.
Diese Variante entspricht exakt dem Ziegenproblem ( der Mod. zeigt eine Ziege ).
Jonny Schneider (2016-05-28 - 22:52 Uhr)
Also im ersten Zug is die wahrscheinlichkeit das auto zu gewinnen zu 33% und im 2 zu dann 50/50 weil 1 Tür schon weg is und nur noch 2 da sind also bleibt es eigendlich bei 50/50 weil er ja so oder so 1 Tür aufmacht
Jonny Schneider (2016-05-28 - 22:54 Uhr)
Ich versteh nich wie manche denken das du im 2 zug immernoch 3 möglichkeiten hast du 2 weil 1 offen is
ihr seid alle behindert (außer jonny) (2016-08-29 - 01:07 Uhr)
3tore und nur 1auto .. 1:3 chance - ist wohl jedem klar

2tore und nur 1auto .. 1:2 chance - ist wohl nur jonny klar

1:2 = 50% für alle behinderten da draußen
ihr seid alle behinder (außer jonny) (2016-08-29 - 01:26 Uhr)
als ergänzung:

1000tore und nur 1auto .. 1:1000 chance

2tore und nur 1 auto .. 1:2 chance

zugegeben. je mehr tore geöffnet werden, um so höher ist die "logische" wahl auf das andere tor zu tippen.
dennoch ist die CHANCE letztlich bei 50%

diese aufgabe ist nur zum teil stochastischer natur .. der andere part ist logic.
Mankra (2017-02-02 - 23:55 Uhr)
Weiterer Erklärungsversuch:
Durchgang 1, soweit dürften sich alle einig sein, Wahrscheinlichkeit 1 zu 2, bzw. 33,3% das Tor mit dem Auto zu treffen.

Nun gibt es 2 Möglichkeiten:

V1=33,3%: Auto: Moderator öffnet eines der beiden Ziegentore, man wechselt zum 2. Ziegentor = verloren = 33,3%

V2=66,6%: Ziege: Moderator öffnet natürlich nicht das Tor mit dem Auto, sondern das 2. Ziegentor, man wechselt zum Tor mit dem Auto.
Da man zu 66,6% das Auto nicht bei der ersten Auswahl trifft, tritt zu 66,6% dieser Fall auf und kommt mit dem Wechsel zum Auto.
ksaa (2017-02-03 - 15:21 Uhr)
Es gibt eine sehr anschauliche Erklärung dafür, die auch sofort im Einklang mit der Intuition ist:

Es gibt nur zwei Möglichkeiten: Das Auto ist hinter der anfangs ausgewählten Tür (Wahrscheinlichkeit 1/3) oder das Auto ist hinter einer der verbliebenen Türen (Wahrscheinlichkeit 2/3).

Angenommen der Moderator würde fragen, ob man die eine ausgewählte Tür gegen die beiden(!) anderen Türen tauschen möchte, würde jeder intuitiv die beiden anderen Türen nehmen. Die Wahrscheinlichkeit ist mit 2/3 auch das Auto zu bekommen ist dabei höher. Leider verbieten das aber die Regeln, da man nur eine Türe auswählen kann. Deshalb bietet der Moderator folgenden Deal an: Sie bekommen die beiden anderen Türen, aber wir müssen etwas tricksen: Ich öffne aus den anderen Türen zunächst so viele Türen mit Nieten bis nur noch eine Tür übrig ist, die sie dann einfach auswählen können. Auch im verschlossenen Zustand dieser Türen ist jedem klar, das die Menge der aufzudeckenden Nieten durch den Moderator unter diesen Türen immer die gleiche sein wird. Das ist deshalb klar, weil er nur Nieten aufdecken wird und am Ende immer eine Tür übrig bleibt. An der 2/3 Wahrscheinlichkeit kann sich durch das Öffnen dieser Türen deshalb nichts ändern.

Man tauscht also anschaulich gesprochen die ursprünglich ausgewählte Tür gegen alle anderen Türen. Entsprechend wird auch die Wahrscheinlichkeit dramatisch höher, wenn es insgesamt mehr als 3 Türen sind, z.B. 100. Dann hat man die Wahl die eine ausgewählte Tür gegen alle 99 anderen zu tauschen.
XX (2017-02-03 - 23:49 Uhr)
Dass 50:50 nicht richtig sein kann kann man leicht verdeutlichen:

Wir machen das Experiment mit 100 Toren und spielen 1000 Runden. Der Kandidat wählt immer Tor 1. Der Moderator öffnet 98 Tore und bietet den Wechsel an. Der Kandidat wechselt nie.

Falls die Antwort 50% Gewinnchance richtig wäre würde der Kandidat 500 von 1000 Runden gewinnen. Folglich wäre das Auto in 500 von 1000 Runden hinter Tor 1. Das ist aber nicht mit der Problemstellung vereinbar die von einer Gleichverteilung des Autos auf die Tore ausgeht. Folglich darf das Auto durchschnittlich nur in 10 von 1000 Fällen hinter Tor 1 sein.
Braindead (2017-03-20 - 15:57 Uhr)
letztendlich geht es um Folgendes:
Neue überlegungen ja. Gehe immer von den aktuellsten Gegebenheiten aus. Und um dieses zu verdeutlichen wird gesagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit auf 2/3 hoch setzt.
ABER, man muss in der zweiten Runde von einem ganz neuen System ausgehen. Alles Vorherige ist nichtig. (ählich wie wenn ich in einem Zug mit Lichtgeschwindigkeit nach vorne laufe, lediglich der Zug ist mein Bezugssystem. Somit bin ich nicht schneller als Licht) Denn in Summe ist der erste Schritt egal. Es ist hinter dem ersten Tor, das geöffnet wird, immer eine Ziege! Somit ist dieser Schritt auszuklammern. es geht nur um den Zweiten.
Es geht immer NUR um 2 Tore!
Außerdem gibt es nur ein Spiel, keine Wiederholung, keinen zweiten Kandidaten...
Ergo: egal was passiert, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen liegt am Ende bei 50%.
Man kann nämlich genauso wenig, wie das erste Tor, die anfängliche Wahl einbeziehen.
Das heißt, die zwei Faktoren, welche die Wahrscheinlichkeit "bestimmen" und auf 2/3 bei Wechsel und 1/3 wenn man sein Tor behält, sind im eigentliche Spiel nicht vorhanden. Denn beginnt erst in der zweiten Runde.
Und hier kann man entweder von einem Pokerspiel mit dem Moderator ausgehen, sofern dieser menschlich ist. Oder einer 50-50 Chance.
Braindead (2017-03-20 - 16:00 Uhr)
Nachtrag:
Es gibt in dieser Konstellation keine Gesetzmäßigkeit.
Nur, dass hinter dem ersten Tor eine Ziege ist.
Verney (2018-01-04 - 21:05 Uhr)
Hallo Allerseits, ich habe die Geschichte schon oft gehört - wollte das jetzt endlich mal klären und bin auf dieser Seite hier gelandet - und ich denke, dass die Regeln einfach nicht ausreichend geklärt sind.

Wenn der Moderator weiß, wo das Auto und wo die Ziegen sind und grundsätzlich immer nur das Ziegen-Tor öffnet, dann haben die 1/3 zu 2/3 - Leute Recht.

Wenn der Moderator aber auch nicht weiß, was sich hinter welchem Tor verbirgt, und einfach nur ein Tor der beiden verbleibenden öffnet, auf die Gefahr hin, dass es auch das Auto sein kann, dann haben die 50:50 - Leute Recht. Denn falls das Auto hinter dem geöffneten Tor wäre, hätte der Kandidat ja bereits hier verloren. Falls nicht, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter seinem bereits gewählten Tor ist auf 50%.

Man stelle sich im letzteren Fall zwei Kandidaten vor, von denen jeweils einer auf eines der verbleibenden Tore gesetzt hatte. Jetzt würde man Jedem raten, das Tor des jeweils andern Kandidaten zu nehmen ?!? Das macht ja wohl auch keinen Sinn.

Probiert letzteres doch einfach mit einer hohen Anzahl von Messreihen mit drei Karten aus (ein Ass, zwei siebenen o.ä.), die gemischt werden.

 

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