Rätsel: Herr Produkt und Herr Summe

Letztes Update: Dienstag, 16. August 2016 - 16:41 Uhr

Zu finden sind zwei natürliche Zahlen, die beide echt zwischen 1 und 100 liegen. Eine Person, im folgenden "Herr Produkt" genannt, kennt das Produkt der beiden Zahlen, eine andere Person, im folgenden "Herr Summe" genannt, kennt ihre Summe. Zwischen den beiden Personen entwickelt sich der folgende Dialog:

Herr Produkt: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."
Herr Summe: "Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, ich wußte aber, dass Sie sie nicht kennen."
Herr Produkt: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt."
Herr Summe: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch."

Welches sind die beiden Zahlen?
(Für die gesuchte Lösung kommt nur eines der folgenden vier Zahlenpaare in Frage)

3 und 5
2 und 7
8 und 11
4 und 13


 

 

 

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Kommentare 6

IBee (2013-09-20 - 22:34 Uhr)
Tolles Rätsel, wie auch die anderen!

Hier ist meine Lösung...

Teil 1: Primfaktorzerlegung zeigt, dass die ersten beiden Paare aus je zwei Primzahlen bestehen und damit für Herrn Produkt eindeutig gewesen wären. Also bleiben die letzten beiden Paare als Möglichkeiten übrig.

Teil 2: Welche Summe kann also Herrn Summe zur Aussage bewegen, er hätte gewußt, dass Herr Produkt die beiden Zahlen nicht kennen konnte?

Für beide Summen, die Herr Summe kennen könnte, kann man alle möglichen Paare von Summanden bilden. Markiert man darin alle Primzahlen, stellt man fest, dass bei der Summe 19 ein Summandenpaar (2+17) aus zwei Primzahlen besteht. Würde Herr Summe die 19 kennen, könnte er seine Aussage zu Herrn Produkt nicht treffen, denn er könnte nicht ausschließen, dass dieser eventuell das Produkt 34 kennt.

Viel Spaß beim weiteren Knobeln!
IBee
Name (2013-10-12 - 15:46 Uhr)
Wenn die Zahlen 3&5 wären wüsste Herr Produkt doch auch nicht, ob es 3 & 5, oder 1 & 15 wären. In der Formulierung "zwischen 1 und 100" sind die Zahlen 1 & 100 nicht ausgeschlossen!
Mundron (2013-12-25 - 15:31 Uhr)
Hallo Rätselfreunde,
also die Formulierung ist an mehreren Stellen unklar. Die eine Stelle ist natürlich ob 1 und 100 inbegriffen sind oder es nicht sein sollten. Aber auch wenn wir davon ausgehen, dass die Zahlen x und y 1<x,y<100 erfüllen müssen, so gibt es meiner Meinung nach fünf mögliche Lösungen:
4 und 13
4 und 37
16 und 13
16 und 37
16 und 43

Lediglich mit dem Zusatz, dass das Produkt und die Summe ebenfalls kleiner als 100 sein müssen würde die Lösung auf "4 und 13" einschränken.

Meine Begründung:
Ich untersuche die Aussagen unabhängig davon, dass auf dieser Seite 4 Lösungsvorschläge angegeben sind. Daher führen meine Überlegung zu folgendem:

Teil 1:
Herr P kennt die Zahlen nicht.
Also muss die Primfaktorzerlegung des Produkts mindestens den Grad 3 besitzen. Das heißt, dass es entweder mindestens 3 Primfaktoren gibt oder bei 2 Primfaktoren muss einer eine Potenz von mindestens 2 haben.
(Die Formulierung in der Musterlung von mindestens 2 Primfaktoren finde ich auch zu ungenau und im Allgemeinen falsch)

Teil 2:
Herr S wusste, dass Herr P die Lösung nicht kennt.
Folglich kann die Summe nicht gerade sein, da nach der Goldbach Vermutung jede gerade Zahl die Summe von zwei Primzahlen ist (für so kleine Werte wurde die Vermutung mit einem PC bereits "bewiesen").
Da 2 eine (und zum Glück die einzige) gerade Primzahl ist, muss auch gelten, dass Summe-2 ebenfalls nicht prim sein darf, damit Herr S diese Aussage machen kann.

Teil 3:
Herr P. kennt dann aber die Lösung.
Daraus lässt sich schließen, dass die Primfaktorzerlegung nur die Primfaktoren 2 und eine weitere enthalten kann, denn Herr P hat erfahren, dass die Summe ungerade ist, somit kann er schließen, dass die Zweierpotenz die eine Zahl ist und der andere Primfaktor die andere Zahl. Gäbe es mehr als 2 Primfaktoren, so könnte er die Zahlen allerdings nicht bestimmen.

Teil 4:
Herr S kennt jetzt die Lösung auch.
Dies bedeutet, dass die Summe die Eigenschaft besitzt, dass sie sich nur auf eine Art und Weise als Summe einer Zweierpotenz und einer Primzahl schreiben lässt, da Herr P aus der Information, dass die Summe ungerade ist die Zahlen bestimmen konnte.

Die 5 oben genannten Möglichkeiten erfüllen alle 4 Kriterien aus den 4 Aussagen.
XD (2015-05-19 - 13:44 Uhr)
Die ersten beiden Lösungen können beide nicht die gesuchten Zahlen sein. Das Produkt 15 kann nämlich nur durch die beiden Zahlen 3 und 5 gebildet werden, es gibt kein anderes Zahlenpaar im Bereich zwischen 1 und 100 dessen Produkt 15 ist. Wäre dies die gesuchte Lösung, so müsste Herr Produkt die Zahlen kennen. Das gleiche gilt für die Zahlen 2 und 7.

Somit bleiben nur die beiden Möglichkeiten "8 und 11" oder "4 und 13" übrig.

Nehmen wir nun an, die richtige Lösung sind die Zahlen "8 und 11". Herr Summe würde also die Zahl 19 kennen.

Die Summe 19 kann man mit folgenden Summanden bilden:

2+17 (Produkt: 34)
3+16 (Produkt: 48)
4+15 (Produkt: 60)
5+14 (Produkt: 70)
6+13 (Produkt: 78)
7+12 (Produkt: 84)
8+11 (Produkt: 88)
9+10 (Produkt: 90)

Da Herr Summe bereits wusste, dass Herr Produkt die Zahlen nicht kennen kann, müssten alle obenstehenden Produkte durch mehrere (mindestens 2) Zahlenpaare gebildet werden können.

Dies ist bei der 34 jedoch nicht der Fall, das einzig mögliche Produkt besteht aus dem Zahlenpaar 2 und 17! Somit ist es für Herrn Summe nicht möglich zu wissen, dass Herr Produkt die Zahlen nicht kennt. Herr Summe muss also nicht die Summe 19, sondern die Summe 17 kennen!

Die gesuchten Zahlen sind also 4 und 13!

(Zur Überprüfung kann man auch die Summe 17 in alle möglichen Summandenpaare zerlegen und die jeweiligen Produkte betrachten. Diese sind hingegen alle durch mindestens zwei Zahlenpaare als Faktoren darstellbar!)

: (2015-10-09 - 16:44 Uhr)
Kompliziert, kompliziert!
(Ich bin erst acht)
Simone (2018-01-12 - 23:12 Uhr)
Die Summe des ganzen ist 14 Groß und klein unterscheiden sich um 7 1 ist 4 mal 3 1 ist größer als 3 1 und 3 macht 5

 

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68kum