Rätsel: Prinzessin im See muss der Hexe entkommen
Update: Dienstag, 19. März
Eine hübsche Prinzessin befindet sich in der Mitte eines kreisförmigen Sees. Außerhalb des Sees wartet eine gefährliche Hexe auf sie. Die Prinzessin muss es schaffen, aus dem Wasser zu kommen, ohne dass die Hexe sie fangen kann.
Das Problem: Die Hexe kann 4-mal so schnell laufen, wie die Prinzessin schwimmen kann. Die Hexe bemüht sich natürlich, immer möglichst dicht an der Prinzessin dran zu bleiben.
Frage:
Wie schafft es die Prinzessin, aus dem See rauszukommen ohne von der Hexe erwischt zu werden?
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Kommentare 24
Ubbo B. (2012-07-09)
Hallo,
ich fand das Rätsel toll und habe mich gefragt, welchen Weg die Prinzessin wohl innerhalb ihres Schwimmkreises zurücklegen würde, um möglichst wenige Bahnen auf ihrem Schwimmkreis schwimmen zu müssen. Ich ging davon aus, dass die Insel der Einfachheit halber ein Punkt ohne Ausdehnung ist. Sie könnte ja schon auf dem Weg zum Kreis dafür sorgen, dass sie auf dem Kreis nicht so viele Bahnen schwimmen müsste.
Unter dieser Annahme würde eine schlaue Prinzessin auf der der Hexe abgewandten Seite der Insel losschwimmen und immer die Insel zwischen sich und der Hexe halten. Immer wenn sich die Hexe für eine Laufrichtung um den See entscheidet, um der Prinzessin näher zu kommen, weicht die P. auf die andere Seite aus, so dass die Hexe wieder wenden muss. Wenn diese "Regelung" in infinitesimal kleinen Schritten verläuft, kann die P. in gerader Linie zu ihrem Schwimmkreis und von da direkt an das Ufer schwimmen.
Ein Schwimmen um den Kreis, um die Hexe abzuhängen, wäre damit also völlig überflüssig. Daher muss man sich auch nicht überlegen, wo sich dieser Kreis befindet. Schade eigentlich!
Mit freundlichen Grüßen,
Ubbo B.
Hallo,
ich fand das Rätsel toll und habe mich gefragt, welchen Weg die Prinzessin wohl innerhalb ihres Schwimmkreises zurücklegen würde, um möglichst wenige Bahnen auf ihrem Schwimmkreis schwimmen zu müssen. Ich ging davon aus, dass die Insel der Einfachheit halber ein Punkt ohne Ausdehnung ist. Sie könnte ja schon auf dem Weg zum Kreis dafür sorgen, dass sie auf dem Kreis nicht so viele Bahnen schwimmen müsste.
Unter dieser Annahme würde eine schlaue Prinzessin auf der der Hexe abgewandten Seite der Insel losschwimmen und immer die Insel zwischen sich und der Hexe halten. Immer wenn sich die Hexe für eine Laufrichtung um den See entscheidet, um der Prinzessin näher zu kommen, weicht die P. auf die andere Seite aus, so dass die Hexe wieder wenden muss. Wenn diese "Regelung" in infinitesimal kleinen Schritten verläuft, kann die P. in gerader Linie zu ihrem Schwimmkreis und von da direkt an das Ufer schwimmen.
Ein Schwimmen um den Kreis, um die Hexe abzuhängen, wäre damit also völlig überflüssig. Daher muss man sich auch nicht überlegen, wo sich dieser Kreis befindet. Schade eigentlich!
Mit freundlichen Grüßen,
Ubbo B.
uppo D. (2012-08-08)
sry uddo aber deine Lösung ist nicht möglich, da die Prinzessin, je näher sie dem Ufer kommt, nicht mehr immer die Insel zwischen sich und Hexe halten kann, da die Hexe schneller ist - die Hexe würde die Prinzessin erreichen bevor diese das Wasser verlässt.
sry uddo aber deine Lösung ist nicht möglich, da die Prinzessin, je näher sie dem Ufer kommt, nicht mehr immer die Insel zwischen sich und Hexe halten kann, da die Hexe schneller ist - die Hexe würde die Prinzessin erreichen bevor diese das Wasser verlässt.
Beinan (2012-08-29)
Da von der Mitte des Flusses zum Ufer dem Radius entspricht, wäre das Verhältnis (grob) zwischen Umfang/2 und Radius 3/4. D.h. die Hexe wäre am Ufer, ehe die Prinzessin dort ankommt.
Die Prinzessin müsste auf halbem Wege (Radius/2) 90° umbiegen und dann zum Ufer schwimmen. Die Hexe schafft es nicht mehr rechtzeitig zum Ufer zu gelangen, da sie fast den Halben Umfang laufen müsste, während die Prinzessin ihren eigenen Weg halbiert hat.
Da von der Mitte des Flusses zum Ufer dem Radius entspricht, wäre das Verhältnis (grob) zwischen Umfang/2 und Radius 3/4. D.h. die Hexe wäre am Ufer, ehe die Prinzessin dort ankommt.
Die Prinzessin müsste auf halbem Wege (Radius/2) 90° umbiegen und dann zum Ufer schwimmen. Die Hexe schafft es nicht mehr rechtzeitig zum Ufer zu gelangen, da sie fast den Halben Umfang laufen müsste, während die Prinzessin ihren eigenen Weg halbiert hat.
Don_Uwe (2012-09-20)
Die Hexe schwimmt bis zur Hälfte dem Ufer zu, biegt dann jedoch ab
Die Hexe schwimmt bis zur Hälfte dem Ufer zu, biegt dann jedoch ab
einstein (2012-11-20)
Die Prinzessin schwimmt ein Stück auf die Hexe zu. Dort angekommen beginnt sie, in konzentrischen Kreisen zu schwimmen. Dadurch gelingt es ihr, sich immer weiter von der Hexe zu entfernen, da ihre Winkelgeschwindigkeit höher ist als die der Hexe. Sobald sie die in dieser Konstellation größtmögliche Entfernung zur Hexe erreicht hat (die Prinzessin und die Hexe befinden sich auf einer geraden Linie, die durch den Teichmittelpunkt geht), schwimmt sie auf dem kürzesten möglichen Weg zum Ufer. Sie erreicht dadurch das Ufer vor der Hexe.
So weit die Theorie - es folgt der mathematische Beweis:
Die Winkelgeschwindigkeit der Prinzessin muss größer sein als die der Hexe (1):
\omega_P>\omega_H
Bis zu welchem Radius das möglich ist, lässt sich über folgenden Weg herausfinden:
\omega=2\pi{f}=2\pi\frac{v}{r}
Eingesetzt in (1) ergibt sich unter der Bedingung, dass die Hexe viermal so schnell läuft wie die Prinzessin schwimmt:
2\pi\frac{\frac{1}{4}v_H}{r_P}>2\pi\frac{v_H}{r_H}\Rightarrow{r_P}<\frac{1}{4}r_H
Wenn die Prinzessin sich also weniger als ein Viertel des Teichradius von der Mitte entfernt, kann sie den Abstand zwischen sich und der Hexe vergrößern.
Nun gilt es zu beweisen, dass die Prinzessin bei größtmöglicher Entfernung zur Hexe schneller am Ufer ist als diese:
t_P<t_H
Aus der vorher ausgerechneten Bedingung ergibt sich:
\frac{r_H-r_P}{v_P}<\frac{\frac{1}{2}\cdot{2}\pi{r_H}}{v_H}\Rightarrow\frac{\frac{3}{4}r_H}{\frac{1}{4}v_H}<\frac{\pi{r_H}}{v_H}\Rightarrow{3}<\pi
Wer nicht glaubt, dass Pi größer als 3 ist, möge sich bitte den Artikel Pi berechnen ansehen. Ansonsten gilt:
q.e.d.
("quod erat demonstrandum" = "was zu beweisen war")
Die Prinzessin schwimmt ein Stück auf die Hexe zu. Dort angekommen beginnt sie, in konzentrischen Kreisen zu schwimmen. Dadurch gelingt es ihr, sich immer weiter von der Hexe zu entfernen, da ihre Winkelgeschwindigkeit höher ist als die der Hexe. Sobald sie die in dieser Konstellation größtmögliche Entfernung zur Hexe erreicht hat (die Prinzessin und die Hexe befinden sich auf einer geraden Linie, die durch den Teichmittelpunkt geht), schwimmt sie auf dem kürzesten möglichen Weg zum Ufer. Sie erreicht dadurch das Ufer vor der Hexe.
So weit die Theorie - es folgt der mathematische Beweis:
Die Winkelgeschwindigkeit der Prinzessin muss größer sein als die der Hexe (1):
\omega_P>\omega_H
Bis zu welchem Radius das möglich ist, lässt sich über folgenden Weg herausfinden:
\omega=2\pi{f}=2\pi\frac{v}{r}
Eingesetzt in (1) ergibt sich unter der Bedingung, dass die Hexe viermal so schnell läuft wie die Prinzessin schwimmt:
2\pi\frac{\frac{1}{4}v_H}{r_P}>2\pi\frac{v_H}{r_H}\Rightarrow{r_P}<\frac{1}{4}r_H
Wenn die Prinzessin sich also weniger als ein Viertel des Teichradius von der Mitte entfernt, kann sie den Abstand zwischen sich und der Hexe vergrößern.
Nun gilt es zu beweisen, dass die Prinzessin bei größtmöglicher Entfernung zur Hexe schneller am Ufer ist als diese:
t_P<t_H
Aus der vorher ausgerechneten Bedingung ergibt sich:
\frac{r_H-r_P}{v_P}<\frac{\frac{1}{2}\cdot{2}\pi{r_H}}{v_H}\Rightarrow\frac{\frac{3}{4}r_H}{\frac{1}{4}v_H}<\frac{\pi{r_H}}{v_H}\Rightarrow{3}<\pi
Wer nicht glaubt, dass Pi größer als 3 ist, möge sich bitte den Artikel Pi berechnen ansehen. Ansonsten gilt:
q.e.d.
("quod erat demonstrandum" = "was zu beweisen war")
Rudolf (2013-03-04)
Die Prinzessin kommt zwar aus dem Wasser, aber wie schnell muss sie dann laufen, um der Hexe zu entkommen?
Die Prinzessin kommt zwar aus dem Wasser, aber wie schnell muss sie dann laufen, um der Hexe zu entkommen?
Marco (2013-04-23)
Die Prinzessin wartet bis zum Winter bis der See Zugefroren ist und läuft weg !!
Die Prinzessin wartet bis zum Winter bis der See Zugefroren ist und läuft weg !!
Sessy*-* (2013-10-15)
boah, 'einstein' ich hab die ersten drei Zeilen von dir gelesen und dann konnte ich dir nicht mehr folge(hab vollkommen abgeschaltet) wie kommst du auf sowas?! hast du nachgeschaut oder selbst zusammengereimt? xD
boah, 'einstein' ich hab die ersten drei Zeilen von dir gelesen und dann konnte ich dir nicht mehr folge(hab vollkommen abgeschaltet) wie kommst du auf sowas?! hast du nachgeschaut oder selbst zusammengereimt? xD
3,141592653589793238462643383279502884792169399375 (2013-11-06)
Angenommen, die Prinzessin schwimmt in einem großen Zylinder (in der Mitte Wasser, außen Land). Sie stülpt die Mitte des Zylinders um, sodass sie außen und damit frei ist. Wichtig: Die Prinzessin darf nicht genau im Mittelpunkt des Zylinders stehen, sonst verschwindet sie im Unendlichen!
Angenommen, die Prinzessin schwimmt in einem großen Zylinder (in der Mitte Wasser, außen Land). Sie stülpt die Mitte des Zylinders um, sodass sie außen und damit frei ist. Wichtig: Die Prinzessin darf nicht genau im Mittelpunkt des Zylinders stehen, sonst verschwindet sie im Unendlichen!
blubi (2013-11-08)
Wieso muss man denn das so kompliziert machen? Ich hätte einfach gesagt, die Prinzessin taucht bis zu einer Seite?
Die Hexe kann doch dann gar nicht sehen, wohin se schwimmt und somit hat sie ne gute Chance. Vorausgesetzt natürlich, dass die Prinzessin genügen Puste hat ;-)
Wieso muss man denn das so kompliziert machen? Ich hätte einfach gesagt, die Prinzessin taucht bis zu einer Seite?
Die Hexe kann doch dann gar nicht sehen, wohin se schwimmt und somit hat sie ne gute Chance. Vorausgesetzt natürlich, dass die Prinzessin genügen Puste hat ;-)
herby (2013-11-10)
Die Prinzessin müsste so losschwimmen, dass der Seemittelpunkt immer zwischen ihr und der Hexe ist und sie aber versucht immer näher ans Ufer zu kommen. Da sie mit dem Radius = 0 beginnt hat sie kein Problem, die o.g. Winkelgeschwindigkeit, die die Hexe vorgibt, einzuhalten. Erst wenn sie merkt, dass die Hexe „schneller“ wird, hat sie 25% vom Radius erreicht und kann direkt auf das Ufer zu schwimmen.
Die Prinzessin müsste so losschwimmen, dass der Seemittelpunkt immer zwischen ihr und der Hexe ist und sie aber versucht immer näher ans Ufer zu kommen. Da sie mit dem Radius = 0 beginnt hat sie kein Problem, die o.g. Winkelgeschwindigkeit, die die Hexe vorgibt, einzuhalten. Erst wenn sie merkt, dass die Hexe „schneller“ wird, hat sie 25% vom Radius erreicht und kann direkt auf das Ufer zu schwimmen.
1234 (2013-12-21)
die Prinzessin schwimmt in die zur hexe entgegengesetzte Richtung
2 * pi *r ist größer als 4*r
die Prinzessin schwimmt in die zur hexe entgegengesetzte Richtung
2 * pi *r ist größer als 4*r
1234 du pfosten (2015-01-21)
ja aber die hexe muss auch nicht 2*pi*r zurücklegen sondern nur die Hälfte: pi*r
ja aber die hexe muss auch nicht 2*pi*r zurücklegen sondern nur die Hälfte: pi*r
Fritz (2015-03-22)
Das ist an sich trivial. Die Prinzessin schwimmt minimal in eine Richtung, und wartet, bis die Hexe an der ihr nun nächsten Stelle am Ufer ist. Danach schwimmt sie infinitesimal im Zickzackkurs geradlinig über die Insel hinweg zum gegenüber liegenden Ufer. Da das Ufer für die Hexe senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, hat sie bei infinitesimal kleinem Zickzackkurs keine Chance, der Prinzessin näher zu kommen, selbst mit Lichtgeschwindigkeit nicht. Die Geschwindigkeit der Hexe in Linie der Prinzessin bleibt Null.
Ubbo D. liegt richtig.
Das ist an sich trivial. Die Prinzessin schwimmt minimal in eine Richtung, und wartet, bis die Hexe an der ihr nun nächsten Stelle am Ufer ist. Danach schwimmt sie infinitesimal im Zickzackkurs geradlinig über die Insel hinweg zum gegenüber liegenden Ufer. Da das Ufer für die Hexe senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, hat sie bei infinitesimal kleinem Zickzackkurs keine Chance, der Prinzessin näher zu kommen, selbst mit Lichtgeschwindigkeit nicht. Die Geschwindigkeit der Hexe in Linie der Prinzessin bleibt Null.
Ubbo D. liegt richtig.
Karl (2015-08-18)
Die Prinzessin taucht... Oder sie schwimmt direkt auf die Hexe zu, spritzt ihr Schlamm in die Augen und macht sich auf und davon.
Die Prinzessin taucht... Oder sie schwimmt direkt auf die Hexe zu, spritzt ihr Schlamm in die Augen und macht sich auf und davon.
Peter (2015-09-29)
Kann mir mal jemand die verbesserte Lösung erklären? Wieso ist s=da * 4/4? Und kommt man auf die Formel von dr?
Kann mir mal jemand die verbesserte Lösung erklären? Wieso ist s=da * 4/4? Und kommt man auf die Formel von dr?
Joe (2015-10-01)
ds=v*dt,
Winkelgeschwindigkeit w=da/dt=4v/R,
R=4
ds=v*dt,
Winkelgeschwindigkeit w=da/dt=4v/R,
R=4
Joe (2015-10-01)
Formel für dr:
Satz des Phytagoras für das Dreieck mit s (bessere Bezeichnung wäre ds) als Hypotenuse und dr und r*da (Kreisbogen als Gerade angenommen für infinitesimal kleine Winkel) als Katheten
Formel für dr:
Satz des Phytagoras für das Dreieck mit s (bessere Bezeichnung wäre ds) als Hypotenuse und dr und r*da (Kreisbogen als Gerade angenommen für infinitesimal kleine Winkel) als Katheten
Herbert Eberle (2015-10-04)
Lieber Einstein, meines Wissens ist f=T^{-1}=frac{v}{2pi r}=frac{omega}{2pi}, also omega=frac{f}{r}.
Das wäre eine Täuschung um den Faktor 2pi, oder?
Lieber Einstein, meines Wissens ist f=T^{-1}=frac{v}{2pi r}=frac{omega}{2pi}, also omega=frac{f}{r}.
Das wäre eine Täuschung um den Faktor 2pi, oder?
lol (2016-11-12)
Die Prinzessin definiert ihren Standpunkt einfach als außen und bewegt sich kein Millimeter. Damit ist die Aufgabe schon gelöst.
Die Prinzessin definiert ihren Standpunkt einfach als außen und bewegt sich kein Millimeter. Damit ist die Aufgabe schon gelöst.
FEHLER (2017-11-03)
Um die Aufgabe zu lösen, hätte ich gerne noch gewusst ob die Prinzessin gut aussieht.
Um die Aufgabe zu lösen, hätte ich gerne noch gewusst ob die Prinzessin gut aussieht.
Fibonacci (2020-06-16)
Ich bin jetzt gerade zu faul das auszurechnen (vielleicht fehlen mir auch die mathematischen Fähigkeiten dazu) aber würde die Prinzessin nicht sinnvollerweise (bis zum Erreichen der Winkelgeschwindigkeitsparität (WGP)) auf einer Fibonacci-spirale nach aussen schwimmen?
Lösungsvariante: Weg 1 (gerade nach aussen bis WGP) plus Weg 2 (Kreisbahn schwimmen bis max. Abstand erreicht ist) plus Weg 3 (gerade nach aussen)
Fibonacci-Variante: Weg 1 und Weg 2 verschmelzen zu neuem Weg 1, der meiner Ansicht nach kürzer ist ....
Ich bin jetzt gerade zu faul das auszurechnen (vielleicht fehlen mir auch die mathematischen Fähigkeiten dazu) aber würde die Prinzessin nicht sinnvollerweise (bis zum Erreichen der Winkelgeschwindigkeitsparität (WGP)) auf einer Fibonacci-spirale nach aussen schwimmen?
Lösungsvariante: Weg 1 (gerade nach aussen bis WGP) plus Weg 2 (Kreisbahn schwimmen bis max. Abstand erreicht ist) plus Weg 3 (gerade nach aussen)
Fibonacci-Variante: Weg 1 und Weg 2 verschmelzen zu neuem Weg 1, der meiner Ansicht nach kürzer ist ....
KMG (2021-10-24)
für eine *deutlich* verschärfte Variante siehe https://projecteuler.net/problem=761
für eine *deutlich* verschärfte Variante siehe https://projecteuler.net/problem=761
oink (2023-02-12)
Die Prinzessin ging heute gar nicht zum See schwimmen!?
Die Prinzessin ging heute gar nicht zum See schwimmen!?
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