Rätsel: Drei Piraten sammeln Kokosnüsse

Letztes Update: Dienstag, 16. August 2016 - 16:41 Uhr

Hier findest du eine sehr interessante Kokosnuss-Problematik, die es in sich hat.

In einer stürmischen Sommernacht sind die drei Piraten Peter, Jack und William von ihrem Piratenschiff gespült wurden. Glücklicherweise konnten sie sich auf einer einsamen Insel retten. Am nächsten Morgen stellen sie fest, dass es neben reichlich Trinkwasser auch jede Menge Kokosnüsse und eine paar friedliche Tiere auf der kleinen Insel gibt.
Da sie nichts zu essen haben, sammeln sie den ganzen Tag lang einen großen Haufen Kokosnüsse und wollen diesen dann später gerecht aufteilen.
Jedoch bricht die Dunkelheit früher als erwartet herein, die Müdigkeit macht sich längst breit und so wird die Teilung auf den nächsten Tag verschoben.


In der Nacht wacht Peter auf. Er traut den anderen beiden nicht über den Weg und möchte sich daher sein Drittel schon mal sichern. So zählt er die Kokosnüsse, teilt die gesamte Anzahl durch drei und versteckt seinen Anteil unweit der Quelle unter Laub und Sand. Bei seiner Rechnung ergibt sich ein Rest von einer Nuss, die er kurzerhand einem Affen spendiert und sich danach wieder beruhigt Schlafen legt.

Nur eine Stunde später erwacht Jack. Auch er will sich seinen Teil vorab sichern, schafft ein Drittel von den noch vorhandenen Nüssen zur Seite und gibt eine Nuss - die beim Teilen übrig bleibt - einem Affen. Anschließend geht auch er wieder schlafen.

Das gleiche Schauspiel vollzieht sich später in der Nacht ein drittes Mal. Auch William wird wach und abermals erhält ein Affe eine Nuss, da auch dieses Mal die Division nicht glatt aufgeht.

Tags darauf sagt aus Scham keiner der Piraten etwas über den arg geschrumpften Haufen und so wird nochmals durch drei geteilt. Wieder erhält ein Affe eine Nuss, da die Division nicht aufgeht.

Nun die Rätselfrage: Wie viele Kokosnüsse haben die drei Piraten Peter, Jack und William am Tag vorher mindestens gesammelt?

 

Viel Spaß beim Knobeln!

 

 

 

 

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Kommentare 29

Joachim (2013-10-17 - 08:09 Uhr)
Tolles Rätsel.
Funktioniert das auch, wenn 4 Piraten auf der Insel stranden würden? Wie wäre dann die minimale Anzahl Kokosnüsse?

MfG aus Salzwedel,
Joachim M.
Fadi (2013-10-25 - 15:33 Uhr)
min. 7
dismantle (2013-12-05 - 12:36 Uhr)
Es sind mindestens 121 Kokusnüsse gewesen.
Th. F. (2013-12-09 - 00:01 Uhr)
79 ist die richtige Lösung.

Erster Klau: 1 erhält der Affe, 26 werden geklaut, 52 bleiben auf dem Haufen.
Zweiter Klau: 1 erhält der Affe, 17 werden geklaut, 34 bleiben auf dem Haufen.
Dritter Klau: 1 erhält der Affe, 11 werden geklaut, 22 bleiben auf dem Haufen.
Letzte (legale) Aufteilung: 1 erhält der Affe, jeder Pirat erhält 7 Kokosnüsse.

Lösungsweg:

Die Piraten haben nur ganze Kokosnüsse gesammelt, N Kokosnüsse – eine mehr, als ohne Rest durch 3 teilbar! Auf dem Haufen liegen zu Beginn N Kokosnüsse.

Wichtig ist, dass es immer nur ganze Kokosnüsse geben darf, denn sonst würden die Klauereien ja auffliegen – es gibt also in keinem Zwischenschritt Bruchteile von Kokosnüssen. Wir dürfen nur natürliche Zahlen von Kokosnüssen akzeptieren.

Bei der ersten illegalen Teilung durch 3 bekommt der Affe die überzählige Kokosnuss, es verbleiben N-1 Kokosnüsse, 1/3*(N-1) werden geklaut, es verbleiben
2/3*(N-1)
auf dem Haufen – wieder eine mehr, als ohne Rest durch 3 teilbar.

Bei der zweiten illegalen Teilung bekommt wieder der Affe die überzählige Kokosnuss, 1/3 wird geklaut, es verbleiben
2/3*(2/3*(N-1)-1)
auf dem Haufen – wieder eine mehr, als ohne Rest durch 3 teilbar.

Bei der dritten illegalen Teilung bekommt wieder der Affe die überzählige Kokosnuss, 1/3 wird geklaut, es verbleiben
2/3*(2/3*(2/3*(N-1)-1)-1)
auf dem Haufen – wieder eine mehr, als ohne Rest durch 3 teilbar.

Bei der vierten (jetzt legalen) Teilung bekommt wieder der Affe die überzählige Kokosnuss, es verbleiben
2/3*(2/3*(2/3*(N-1)-1)-1)-1
zur Verteilung auf dem Haufen – jetzt eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch 3 teilbar ist.

Jeder Pirat erhält jetzt ein Drittel davon, also:
1/3*(2/3*(2/3*(2/3*(N-1)-1)-1)-1) = n (mit n als natürliche Zahl)

Die Aufgabe ist: Welches ist die kleinste natürliche Zahl N, die als Lösung dieser Gleichung eine natürliche Zahl n ergibt?

Man könnte die Gleichung ausmultiplizieren und nach N auflösen. Dann müsste man eine nach der anderen natürliche Zahlen n (= 1,2,3...) einsetzen und schauen, wann das erste Mal eine natürliche Zahl N rauskommt.

Schneller geht’s mit EXCEL oder Calc von Open Office:

In die erste Spalte kommt die Zahl N der ursprünglich gesammelten Kokosnüsse (2,3,4,5...1000). Die Ausfüllautomatik hilft, also Feld anklicken und am Quadrat rechts unten auf die Felder nach unten weiterziehen (ich habe es mal testhalber bis gut 1000 gemacht).

In die zweite Spalte kommt die o.g. Formel für die Zahl der letztlich auf jeden Piraten entfallenden Kokosnüsse (n)

1/3*(2/3*(2/3*(2/3*(N-1)-1)-1)-1)

dann wird das „N“ in der Formel durch Doppelklick markiert und durch Klick auf die links daneben stehende Zahl aus der N-Spalte ersetzt, damit EXCEL weiß, womit es rechnen muss. Den Rest macht wieder die Ausfüllautomatik (Runterziehen am Quadrat rechts unten).

Jetzt muss man nur noch schauen, bei welchem N erstmals eine natürliche Zahl n auftaucht.

Ergebnis: Für N=79 findet man n=7 als kleinste Werte für N und n.

Nochmal genauer angeschaut:

79 gesammelte Kokosnüsse.

1 an den Affen, bleiben 78.

78 aufgeteilt 1/3 (26) zu 2/3 verbleiben 52.

1 an den Affen, bleiben 51.

51 aufgeteilt 1/3 (17) zu 2/3 verbleiben 34.

1 an den Affen, bleiben 33.

33 aufgeteilt 1/3 (11) zu 2/3 verbleiben 22.

1 an den Affen, bleiben 21.

21 aufgeteilt an drei bleibt jedem 1/3 (7).
Chrizzldi (2014-04-19 - 00:02 Uhr)
Warum so kompliziert aufschreiben, es lässt sich sehr einfach linear darstellen:
y = 27x - 2 wobei y die Anzahl der Kokosnüsse und x aufsteigend die Fallmöglichkeit.

Bsp.: x im Mindestfall = 1. Wir setzten ein: 27*1 - 2 = 25 Kokosnüsse.
usw...
tom (2014-08-05 - 13:34 Uhr)
was ist nun die richtige Antwort? 25 ist doch falsch, oder?
Versuch (2014-11-04 - 11:56 Uhr)
annahme:
4 koküsnüsse liegen zuletzt da; weil->
4 kleinste durch 3 teilbare menge mit rest 1 (4=2/3, 1/3=2)
Gesamtmenge bei letztem "klau" 6+1=7
6=2/3 1/3=3 7+3=10
10 ist die menge beim zweiten "Klau"
10=2/3 1/3=5 10+5+1=16
16=Menge beim ersten "Klau"

Mindestens 16 Kokusnüsse wurden gesammelt
Versuch (2014-11-04 - 12:10 Uhr)
Nee Quatsch sorry
Imperaton (2014-11-09 - 20:03 Uhr)
Die Anzahl der Nüsse die William findet muss durch 3 mit dem Rest 1 teilbar sein das heißt : x*3 + 1 ist die Anzahl der Nüsse die William vorfindet

Das gleiche gilt für Jack, bloß dass bei ihm nach der Teilung x*3 + 1 übrig bleiben muss also gilt: ((x*3+1)*3) + 1 = x*9+3+1

Das gleiche für Peter: ((x*9+3+1)*3)+1 = 27*x+9+3+1 = 27*x + 13

Wenn man für x nun eine beliebige positive natürliche Zahl einsetzt erhält man alle Möglichkeiten für die gesammlten Nüsse.

Hier ist aber nach der geringsten Menge gesucht.

Also setzt man für x eins ein.

27*1+13 = 40

Imperaton (2014-11-09 - 20:08 Uhr)
Um die Frage von Joachim zu beantworten. Ja das funktioniert für jegliche Anzahl an Piraten. Man Muss nur mit vier statt drei rechnen ;)
taylor (2014-11-20 - 01:38 Uhr)
mindestens 12
R.P. (2015-03-16 - 16:54 Uhr)
Definition:
y = Anzahl der übriggebliebenen Kokosnüsse pro Pirat
x = Anzahl der gesamten gesammelten Kokosnüsse

Annahme:
x und y sind natürliche Zahlen > 0
Es soll die minimalen Werte gefunden werden

Man kann auch rückwärts rechnen:
3/2*(3/2*(3/2*(3*y+1)+1)+1)+1 = x

Wenn man die Funktion auflöst hat man:
81/8*y + 65/8 = x
Umstellen:
81*y + 65 = 8x
Ausklammern:
8(10,125*y + 8,125) = 8x
10,125*y + 8,125 = x

Kleiner Trick:
Da man für y und x ganze Zahlen braucht und wir nur den kleinsten Wert suchen folgt daraus:
0,125*y + 0,125 = 1
-> y = 7
y eingesetzt ergibt x = 79


Wenn man jetzt die nächste Lösung finden möchte, macht man äquivalent:
0,125*y + 0,125 = 2
-> y = 15
y eingesetzt ergibt x = 160

Man kann das dann so weiterführen.
Jens (2015-05-07 - 00:39 Uhr)
ich habe auch 121 raus
Turing (2015-06-16 - 13:17 Uhr)
Es sind 94!!
Da 94:3=31 +1R ist, 31:3=10 +1R und 10:3=3 +1R
Ist das für die Werten Herren logisch?

Grüße aus Wien
Dri (2015-07-22 - 15:17 Uhr)
@R.P. von 2015-03-16
Ich verstehe den letzten Schritt nicht ganz. Finde es aber die beste Lösung. Wieso kannst du sicher sein, dass y für x=1 bereits ganzzahlig sein wird?
snlm (2015-08-16 - 06:15 Uhr)
Das folgende Python Programm findet die Lösung:

print("Kokusnussproblem")
print("----------------")
print()

anzahl = 1

while anzahl < 10000:
anzahl = anzahl + 3
n = 9 * anzahl + 10
n = n / 8
if n - int(n) < 1.0e-3:
print("Am Ende gibt es mindestens ",anzahl," Kokosnüsse zu verteilen,")
print("von denen jeder noch einmal",anzahl//3, "bekommt und der Affe",anzahl%3,".")
print()
print("Man hat also mindestens ",int(3*n+1)," Kokosnüsse eingesammelt.")
break

print()
input("Drücke <RETURN> zum Beenden ")
Boris (2015-10-23 - 01:28 Uhr)
121 stimmt
bla (2015-11-28 - 14:45 Uhr)
@Joachim
Bei 4 Piraten wären es 1021. Denn um die entsprechenden Reste zu erzielen, muss für die Zahl der Nüsse x, die jeder am Ende noch erhält gelten x = -1 mod 3^4. Dafür ist x=80 minimale positive Lösung und für
(4/3)*((4/3)*((4/3)*((4/3)*(4*x+1)+1)+1)+1)+1
ergibt sich 1021
Micha (2015-12-16 - 07:39 Uhr)
Und funktioniert das auch mit 5 Piraten?
Lilli (2016-05-06 - 22:44 Uhr)
Wieso denn so kompliziert? Es ist ganz simpel? Zehn ist die Lösung, vier der Affe und zwei jeder der Piraten :)
Alex (2016-06-22 - 08:21 Uhr)
Habe nun mehrere eurer Möglichkeiten ausprobiert und alle sind an sich schlüssig wenn nicht da die Logik wäre.
Rechnen wir mal einfach rückwärts hoch.

Jeder bekommt eine Kokusnuss am Ende (als kleinst möglichen, ganzen Teil)
1*3 plus eine für den Affen = 4
4*3 plus eine für den Affen = 13
13*3 plus eine für den Affen = 40
40*3 plus eine für den Affen = 121

Somit ist der Sieger bei der Berechnung, der Affe ;)
Anthony Hess (2016-06-23 - 11:46 Uhr)
Es muss immer Rest 1 Übrig bleiben, sodass der Affe eine Nuss spendiert bekommt
Somit gilt x=n/3 + 1 Rest...
Daraus folgt. dass n=21 ist, da 7*3=21 ist

Aber Th.F. Rechnung ist schön hergeleitet und auch richtig!

Meine Rechnung:

7*3 + 1 = 22 = x

Aus x=22 wurde im zweitletzten Schritt 1/3 von William entzogen + 1 Rest (Affe)

Somit gilt ab sofort: x=n*1,5 + 1
(in jener Aufgabe ist n durch die vorherige Lösung (X) definiert)

WILLIAM:
x=22*1,5+1 => x =34

JACK:
x=34*1,5+1 => x =52

PETER:
x=52*1,5+1 => x =79

79 ist das Anfangskapital


Verpackt in die Kurzversion gilt:
x=(((7*3+1)1,5+1)1,5+1)1,5+1=79

Mit freundlichem Gruß
Anthony Hess (18)
INFO11 (2016-12-15 - 17:07 Uhr)
KONKRETE PASCAL FUNKTION FÜR 6 RÄUBER BITTE!!!!!!!!!!!!!
allgemeine Lösung (2017-01-13 - 11:46 Uhr)
Hi,
die allgemeine Lösung lässt sich relativ leicht erahnen, wenn man sich einen Lösungsweg für Zehn Piraten überlegt, denn wir rechnen üblicherweise im Dezimalsystem.
Ich rechne von hinten und nenne das letzte Mal "a", den vorletzten "b" usw.

Die Bedingung, dass bei "a" beim Teilen durch 10 ein Rest von 1 bleibt heißt:
"letzte Ziffer gleich 1"

Bei "b" soll diese Bedingung auch gelten mit dem Zusatz, dass "a" ebenfalls die 1 hinten haben soll. Das, was wir von "b" abziehen, muss also als letzte Ziffer eine 0 haben. heißt für "b":
"letzte Ziffern 91"

Für "c" folgt dann mit ähnlichen Überlegungen:
"letzte Ziffern 991"

usw. "a" ist das legale Teilen. Die davor sind die "illegalen". Es wird 10-mal illegal geteilt. Für jedes illegale Teilen braucht es eine 9 mehr am Anfang der Zahl.

Es folgt, dass die Anfangszahl min. 99999999991 ist (es können beliebig viele Ziffern davor gesetzt werden).

Für 6 Piraten hieße das jetzt. Es sind im !!!Sechsersystem!!! geschrieben min. 5555551 Kokosnüsse
bzw. !!Dezimal!! 279931 oder besser (6-1)*6^6 + (6-1)*6^5 +...+(6-1)*6^1+1

Für n Piraten ist die min. Lösung also:
(n-1)*n^n+(n-1)^(n-1)+...+(n-1)*n+1

Eine interessante Variante ist, wenn nur die letzte Teilung aufgehen soll. Das hieße !!Dezimal!!, dass "a" letzte Ziffer 0 hat. Und das hieße für "b"... ;)
Grüße
siggi (2017-03-02 - 16:56 Uhr)
Betrachtet man das Rätsel im Zahlensystem mit der gebrochen Basis 3/2 mit den Ziffern 0,1 und 2.
Z.B. gilt für dezimal 10: a0=1 (= 10 mod 3), a1= 0= 2*(10 div 3) mod 3, a2= 2*(6 div 3) mod 3= 1, a3= 2*(4 div 3) mod 3= 2
Oder 10= 2*(3/2)^3 + 1*(3/2)^2 + 1=54/8 +18/8 +18/18= 80/8
Die Ziffern geben also an, wie der Rest einer Zahl bei genau der Teilung ist, wie es das Rätsel vor gibt!

Betrachen wir eine Zahl x in der 3/2 Schreibweise die auf x=...,1,1,1,1 endet.
x+2 (nachrechnen) endet dann auf ...,0,0,0,0. D..h. x+2 muß 4 mal durch 3 ohne Rest teilbar sei!
Also, x+2= X+3^4. Wir suchen das kleinste x, also x+2= 0+3^4= 81, oder x=79. q.e.d.

Viel Spaß beim Nachdenken!
siggi (2017-03-02 - 18:53 Uhr)
Nur mal so: (6-1)*6^6 + (6-1)*6^5 +...+(6-1)*6^1+1= 5*6(6^5 +6^4 + ... +6 +1) +1= 30*(6^6-1)/5 +1= 6*6^6 -6 +1= ...
...= 6^7 -5= 279936 -5= 279931
siggi (2017-03-05 - 16:11 Uhr)
Ich wollt noch etwas Nachtragen, wobei ich die Darstellung mit n als Basis des zugrundegelegtem Zahlensystems wohl nicht (richtig) verstehe: Ich bleibe mal bei meiner gebrochenen Basis (n/n-1) um das Problem mit n Teilungen mit Rest 1 und Restteilung mit Rest 0 - durch X ist eine minimale Lösung - zu lösen:

(Soll bei der Restteilung auch 1 als Rest bleiben, dann gilt unabhängig von n gerade oder ungerade: X= n^(n+1)-(n-1) (s."oben")

Also, es gilt für
n ungerade, die minimale Erstmenge ist X= n^n -n +1= n^n -(n -1)
n gerade, die minimale Erstmenge ist X= (n -1)(n^n -1)

Beispiele;
n=2 --> X= 3 und 3:2= 1 R1, 1:2= 0 R1, 0:2= 0 R0 oder
n=4 --> X= 3*255= 765 und 765:4= 191 R1, 573:4= 143 R1, 429:4= 107 R1, 321:4= 80 R1, 240:4= 60 R0 oder
n=3 --> X= 3^3 -2= 25 und 25:3= 8 R1, 16:3= 5 R1, 10:3= 3 R1, 6:3= 2 R0 u.s.w.

Beweis: Man rechne jeweils für X= n^n -(n -1) bzw. X= (n -1)(n^n -1) die Ziffern zur Basis (n/(n-1)) aus!

Sei n ungerade: n^n -(n -1) mod n = 1, n^n -(n -1) div n= n^(n-1) -1
n^n -n -n^(n -1) +1 mod n= 1, n^n -n -n^(n -1) +1 div n= n^(n-1) - n^(n-2) -1
n^n -n^(n-1) -n -n^(n-1) +n^(n-2) +1 mod n= 1, n^n -2n^(n-1) -n +n^(n-2) +1 div n= n^(n-1) -2n^(n-2) +n^(n-3) -1
...
Wenn n ungerade ist wird es nach n Schritten einen positiven Term n^(n-n) -1= n^0 -1= 1 -1= 0 geben,
und der entsprechende, (n+1)te Ausdruck mod n= 0 sein!

Entsprechendes kann man für (n -1)(n^n -1) und gerade n nachrechnen. QED



...
bis irgend wann (nach
Klaus (2017-05-18 - 09:10 Uhr)
Wenn N die Anzahl der beteiligten Personen und X die Anzahl der gesammelten Nüsse ist, dann
ist die allgemeingültige Lösung X = (N^(N+1)) - (N-1).
Einschränkung: N>2
Klaus (2017-05-21 - 01:46 Uhr)
@Info11:
So könnte eine Pascal Funktion aussehen:
P=Anzahl Personen, Result=Anzahl Nüsse.
Bei P>9 erfolgt ein Integer-Überlauf
FUNCTION Nuts(P:Integer):Integer;
FUNCTION Check(X:Integer; var N:Integer):Boolean;
var I:Integer;
begin
Result:=False;
X:=X*P+1;
for I:=1 to P do begin
if X mod (P-1)0 then Exit;
X:=X div (P-1)*P+1;
end;
N:=X;
Result:=True;
end;
var X:Integer;
begin
X:=1;
while not Check(X,Result) do Inc(X);
end;

 

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